Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.
1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.
Например, чтобы построить график функции y= ⅓
x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3.
Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓
x+2:
2.
В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½
x+3; y=x+3
Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.
Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)
Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3
На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)
Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3
Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.
Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)
Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0
Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:
Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:
Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:
3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.
Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание!
Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.
4. Условие параллельности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2
5. Условие перепендикулярности двух прямых:
График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2
6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.
С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).
С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):
Система координат – это две взаимно перпендикулярные координатные прямые, пересекающиеся в точке, которая является началом отсчета для каждой из них.
Координатные оси – прямые, образующие систему координат.
Ось абсцисс (ось x) — горизонтальная ось.
Ось ординат (ось y) — вертикальная ось.
Функция
Функция — это отображение элементов множества X на множество Y . При этом каждому элементу x множества X соответствует одно единственное значение y множества Y .
Прямая
Линейная функция – функция вида y = a x + b где a и b — любые числа.
Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим, как будет выглядеть график в зависимости от коэффициентов a и b:
Если a > 0 , прямая будет проходить через I и III координатные четверти.
Если a < 0 , прямая будет проходить через II и IV координатные четверти.
b — точка пересечения прямой с осью y .
Если a = 0 , фукция принимает вид y = b .
Отдельно выделим график уравнения x = a .
Важно : это уравнение не является функцией так как нарушается определение функции (функция ставит в соответствие каждому элементу x множества X одно единственно значение y множества Y). Данное уравнение ставит в соответствие одному элементу x бесконечное множества элементов y . Тем не менее, график данного уравнения построить можно. Просто не будем называть его гордым словом «Функция».
Парабола
Графиком функции y = a x 2 + b x + c является парабола .
Для того, чтобы однозначно определить, как располагается график параболы на плоскости, нужно знать, на что влияют коэффициенты a , b , c:
- Коэффициент a указывает на то, куда направлены ветки параболы.
- Если a > 0 , ветки параболы направлены вверх.
- Если a < 0 , ветки параболы направлены вниз.
- Коэффициент c указывает, в какой точке парабола пересекает ось y .
- Коэффициент b помогает найти x в — координату вершины параболы.
x в = − b 2 a
- Дискриминант позволяет определить, сколько точек пересечения у параболы с осью.
- Если D > 0 — две точки пересечения.
- Если D = 0 — одна точка пересечения.
- Если D < 0 — нет точек пересечения.
Графиком функции y = k x является гипербола .
Характерная особенность гиперболы в том, что у неё есть асимптоты.
Асимптоты гиперболы – прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.
Ось x – горизонтальная асимптота гиперболы
Ось y – вертикальная асимптота гиперболы.
На графике асимптоты отмечены зелёной пунктирной линией.
Если коэффициент k > 0 , то ветви гиперолы проходят через I и III четверти.
Если k < 0, ветви гиперболы проходят через II и IV четверти.
Чем меньше абсолютная величина коэффиента k (коэффициент k без учета знака), тем ближе ветви гиперболы к осям x и y .
Квадратный корень
Функция y = x имеет следующий график:
Возрастающие/убывающие функции
Функция y = f (x) возрастает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует большее значение функции (большее значение y) .
То есть чем больше (правее) икс, тем больше (выше) игрек. График поднимается вверх (смотрим слева направо)
Функция y = f (x) убывает на интервале , если большему значению аргумента (большему значению x) соответствует меньшее значение функции (большее значение y) .
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Определение 1
- постоянная функция (константа);
- корень n -ой степени;
- степенная функция;
- показательная функция;
- логарифмическая функция;
- тригонометрические функции;
- братные тригонометрические функции.
Постоянная функция определяется формулой: y = C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C .
График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0 , С) . Для наглядности приведем графики постоянных функций y = 5 , y = - 2 , y = 3 , y = 3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).
Определение 2
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n (n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
- Корень n -й степени, n – четное число
Для наглядности укажем чертеж, на котором изображены графики таких функций: y = x , y = x 4 и y = x 8 . Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Определение 3
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
- область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [ 0 , + ∞) ;
- когда x = 0 , функция y = x n имеет значение, равное нулю;
- данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
- область значений: [ 0 , + ∞) ;
- данная функция y = x n при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
- отсутствуют точки перегиба;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при четных n проходит через точки (0 ; 0) и (1 ; 1) .
- Корень n -й степени, n – нечетное число
Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y = x 3 , y = x 5 и x 9 . На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Определение 4
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
- область определения – множество всех действительных чисел;
- данная функция – нечетная;
- область значений – множество всех действительных чисел;
- функция y = x n при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
- функция имеет вогнутость на промежутке (- ∞ ; 0 ] и выпуклость на промежутке [ 0 , + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) ;
- асимптоты отсутствуют;
- график функции при нечетных n проходит через точки (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) и (1 ; 1) .
Степенная функция
Определение 5Степенная функция определяется формулой y = x a .
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
- когда степенная функция имеет целый показатель a , то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
- показатель степени может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0 < a < 1 ; a > 1 ; - 1 < a < 0 и a < - 1 ;
- степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – нечетное положительное число, например, a = 1 , 3 , 5 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x (черный цвет графика), y = x 3 (синий цвет графика), y = x 5 (красный цвет графика), y = x 7 (зеленый цвет графика). Когда a = 1 , получаем линейную функцию y = x .
Определение 6
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (исключая линейную функцию);
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) (исключая линейную функцию);
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Разберем степенную функцию y = x a , когда a – четное положительное число, например, a = 2 , 4 , 6 …
Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y = x 2 (черный цвет графика), y = x 4 (синий цвет графика), y = x 8 (красный цвет графика). Когда a = 2 , получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.
Определение 7
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- убывающей при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; + ∞) ;
- очки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (0 ; 0) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – нечетное отрицательное число: y = x - 9 (черный цвет графика); y = x - 5 (синий цвет графика); y = x - 3 (красный цвет графика); y = x - 1 (зеленый цвет графика). Когда a = - 1 , получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.
Определение 8
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = - ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 1 , - 3 , - 5 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция является нечетной, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0) и вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда а = - 1 , - 3 , - 5 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; - 1) , (1 ; 1) .
На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y = x a , когда a – четное отрицательное число: y = x - 8 (черный цвет графика); y = x - 4 (синий цвет графика); y = x - 2 (красный цвет графика).
Определение 9
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
- область определения: x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
Когда х = 0 , получаем разрыв второго рода, поскольку lim x → 0 - 0 x a = + ∞ , lim x → 0 + 0 x a = + ∞ при a = - 2 , - 4 , - 6 , … . Таким образом, прямая х = 0 – вертикальная асимптота;
- функция является четной, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ (- ∞ ; 0) и убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 , поскольку:
k = lim x → ∞ x a x = 0 , b = lim x → ∞ (x a - k x) = 0 ⇒ y = k x + b = 0 , когда a = - 2 , - 4 , - 6 , . . . .
- точки прохождения функции: (- 1 ; 1) , (1 ; 1) .
С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал - ∞ ; + ∞ , оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [ 0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Итак, разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0 < a < 1 .
Проиллюстрируем графиками степенные функции y = x a , когда a = 11 12 (черный цвет графика); a = 5 7 (красный цвет графика); a = 1 3 (синий цвет графика); a = 2 5 (зеленый цвет графика).
Иные значения показателя степени a (при условии 0 < a < 1) дадут аналогичный вид графика.
Определение 10
Свойства степенной функции при 0 < a < 1:
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ (0 ; + ∞) ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Разберем степенную функцию y = x a , когда показатель степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a > 1 .
Проиллюстрируем графиками степенную функцию y = x a в заданных условиях на примере таких функций: y = x 5 4 , y = x 4 3 , y = x 7 3 , y = x 3 π (черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Определение 11
Свойства степенной функции при a > 1:
- область определения: x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- область значений: y ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является возрастающей при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ (0 ; + ∞) (когда 1 < a < 2) и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) (когда a > 2);
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точки прохождения функции: (0 ; 0) , (1 ; 1) .
Обращаем ваше внимание!Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал - ∞ ; 0 ∪ (0 ; + ∞) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0 ; + ∞) . Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.
Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y = x a при условии: - 1 < a < 0 .
Приведем чертеж графиков следующий функций: y = x - 5 6 , y = x - 2 3 , y = x - 1 2 2 , y = x - 1 7 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).
Определение 12
Свойства степенной функции при - 1 < a < 0:
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда - 1 < a < 0 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ 0 ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- точки перегиба отсутствуют;
На чертеже ниже приведены графики степенных функций y = x - 5 4 , y = x - 5 3 , y = x - 6 , y = x - 24 7 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).
Определение 13
Свойства степенной функции при a < - 1:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ ;
lim x → 0 + 0 x a = + ∞ , когда a < - 1 , т.е. х = 0 – вертикальная асимптота;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- функция является убывающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 ;
- точка прохождения функции: (1 ; 1) .
Когда a = 0 и х ≠ 0 , получим функцию y = x 0 = 1 , определяющую прямую, из которой исключена точка (0 ; 1) (условились, что выражению 0 0 не будет придаваться никакого значения).
Показательная функция имеет вид y = a x , где а > 0 и а ≠ 1 , и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a . Рассмотрим частные случаи.
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0 < a < 1) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0 < a < 1 .
Определение 14
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к + ∞ ;
Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а > 1) .
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Определение 15
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
- область определения – все множество действительных чисел;
- область значений: y ∈ (0 ; + ∞) ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция имеет вогнутость при x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- горизонтальная асимптота – прямая y = 0 при переменной x , стремящейся к - ∞ ;
- точка прохождения функции: (0 ; 1) .
Логарифмическая функция имеет вид y = log a (x) , где a > 0 , a ≠ 1 .
Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x ∈ 0 ; + ∞ .
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0 < a < 1 . Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a = 1 2 (синий цвет кривой) и а = 5 6 (красный цвет кривой).
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Определение 16
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к + ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая
- функция имеет вогнутость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже –графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Определение 17
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
- область определения: x ∈ 0 ; + ∞ . Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к - ∞ ;
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ (все множество действительных чисел);
- данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
- логарифмическая функция является возрастающей при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- функция имеет выпуклость при x ∈ 0 ; + ∞ ;
- точки перегиба отсутствуют;
- асимптоты отсутствуют;
- точка прохождения функции: (1 ; 0) .
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f (x + T) = f (x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
- Функция синус: y = sin (х)
График данной функции называется синусоида.
Определение 18
Свойства функции синус:
- область определения: все множество действительных чисел x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- функция является возрастающей при x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция синус имеет локальные максимумы в точках π 2 + 2 π · k ; 1 и локальные минимумы в точках - π 2 + 2 π · k ; - 1 , k ∈ Z ;
- функция синус вогнутая, когда x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция косинус: y = cos (х)
График данной функции называется косинусоида.
Определение 19
Свойства функции косинус:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- наименьший положительный период: Т = 2 π ;
- область значений: y ∈ - 1 ; 1 ;
- данная функция – четная, поскольку y (- x) = y (x) ;
- функция является возрастающей при x ∈ - π + 2 π · k ; 2 π · k , k ∈ Z и убывающей при x ∈ 2 π · k ; π + 2 π · k , k ∈ Z ;
- функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2 π · k ; 1 , k ∈ Z и локальные минимумы в точках π + 2 π · k ; - 1 , k ∈ z ;
- функция косинус вогнутая, когда x ∈ π 2 + 2 π · k ; 3 π 2 + 2 π · k , k ∈ Z и выпуклая, когда x ∈ - π 2 + 2 π · k ; π 2 + 2 π · k , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z
- асимптоты отсутствуют.
- Функция тангенс: y = t g (х)
График данной функции называется тангенсоида.
Определение 20
Свойства функции тангенс:
- область определения: x ∈ - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- Поведение функции тангенс на границе области определения lim x → π 2 + π · k + 0 t g (x) = - ∞ , lim x → π 2 + π · k - 0 t g (x) = + ∞ . Таким образом, прямые x = π 2 + π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- функция обращается в нуль, когда x = π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей при - π 2 + π · k ; π 2 + π · k , k ∈ Z ;
- функция тангенс является вогнутой при x ∈ [ π · k ; π 2 + π · k) , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ (- π 2 + π · k ; π · k ] , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- Функция котангенс: y = c t g (х)
График данной функции называется котангенсоида.
Определение 21
Свойства функции котангенс:
- область определения: x ∈ (π · k ; π + π · k) , где k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
Поведение функции котангенс на границе области определения lim x → π · k + 0 t g (x) = + ∞ , lim x → π · k - 0 t g (x) = - ∞ . Таким образом, прямые x = π · k k ∈ Z – вертикальные асимптоты;
- наименьший положительный период: Т = π ;
- функция обращается в нуль, когда x = π 2 + π · k при k ∈ Z (Z – множество целых чисел);
- область значений: y ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является убывающей при x ∈ π · k ; π + π · k , k ∈ Z ;
- функция котангенс является вогнутой при x ∈ (π · k ; π 2 + π · k ] , k ∈ Z и выпуклой при x ∈ [ - π 2 + π · k ; π · k) , k ∈ Z ;
- точки перегиба имеют координаты π 2 + π · k ; 0 , k ∈ Z ;
- наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
- Функция арксинус: y = a r c sin (х)
Определение 22
Свойства функции арксинус:
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция арксинус имеет вогнутость при x ∈ 0 ; 1 и выпуклость при x ∈ - 1 ; 0 ;
- точки перегиба имеют координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арккосинус: y = a r c cos (х)
Определение 23
Свойства функции арккосинус:
- область определения: x ∈ - 1 ; 1 ;
- область значений: y ∈ 0 ; π ;
- данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккосинус имеет вогнутость при x ∈ - 1 ; 0 и выпуклость при x ∈ 0 ; 1 ;
- точки перегиба имеют координаты 0 ; π 2 ;
- асимптоты отсутствуют.
- Функция арктангенс: y = a r c t g (х)
Определение 24
Свойства функции арктангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ - π 2 ; π 2 ;
- данная функция – нечетная, поскольку y (- x) = - y (x) ;
- функция является возрастающей на всей области определения;
- функция арктангенс имеет вогнутость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] и выпуклость при x ∈ [ 0 ; + ∞) ;
- точка перегиба имеет координаты (0 ; 0) , она же – нуль функции;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = - π 2 при x → - ∞ и y = π 2 при x → + ∞ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).
- Функция арккотангенс: y = a r c c t g (х)
Определение 25
Свойства функции арккотангенс:
- область определения: x ∈ - ∞ ; + ∞ ;
- область значений: y ∈ (0 ; π) ;
- данная функция – общего вида;
- функция является убывающей на всей области определения;
- функция арккотангенс имеет вогнутость при x ∈ [ 0 ; + ∞) и выпуклость при x ∈ (- ∞ ; 0 ] ;
- точка перегиба имеет координаты 0 ; π 2 ;
- горизонтальные асимптоты – прямые y = π при x → - ∞ (на чертеже – линия зеленого цвета) и y = 0 при x → + ∞ .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Построить функцию
Мы предлагаем вашему вниманию сервис по потроению графиков функций онлайн, все права на который принадлежат компании Desmos . Для ввода функций воспользуйтесь левой колонкой. Вводить можно вручную либо с помощью виртуальной клавиатуры внизу окна. Для увеличения окна с графиком можно скрыть как левую колонку, так и виртуальную клавиатуру.
Преимущества построения графиков онлайн
- Визуальное отображение вводимых функций
- Построение очень сложных графиков
- Построение графиков, заданных неявно (например эллипс x^2/9+y^2/16=1)
- Возможность сохранять графики и получать на них ссылку, которая становится доступной для всех в интернете
- Управление масштабом, цветом линий
- Возможность построения графиков по точкам, использование констант
- Построение одновременно нескольких графиков функций
- Построение графиков в полярной системе координат (используйте r и θ(\theta))
С нами легко в режиме онлайн строить графики различной сложности. Построение производится мгновенно. Сервис востребован для нахождения точек пересечения функций, для изображения графиков для дальнейшего их перемещения в Word документ в качестве иллюстраций при решении задач, для анализа поведенческих особенностей графиков функций. Оптимальным браузером для работы с графиками на данной странице сайта является Google Chrome. При использовании других браузеров корректность работы не гарантируется.
Задания на свойства и графики квадратичной функции вызывают, как показывает практика, серьезные затруднения. Это довольно странно, ибо квадратичную функцию проходят в 8 классе, а потом всю первую четверть 9-го класса "вымучивают" свойства параболы и строят ее графики для различных параметров.
Это связано с тем, что заставляя учащихся строить параболы, практически не уделяют времени на "чтение" графиков, то есть не практикуют осмысление информации, полученной с картинки. Видимо, предполагается, что, построив десятка два графиков, сообразительный школьник сам обнаружит и сформулирует связь коэффициентов в формуле и внешний вид графика. На практике так не получается. Для подобного обобщения необходим серьезный опыт математических мини исследований, которым большинство девятиклассников, конечно, не обладает. А между тем, в ГИА предлагают именно по графику определить знаки коэффициентов.
Не будем требовать от школьников невозможного и просто предложим один из алгоритмов решения подобных задач.
Итак, функция вида y = ax 2 + bx + c называется квадратичной, графиком ее является парабола. Как следует из названия, главным слагаемым является ax 2 . То есть а не должно равняться нулю, остальные коэффициенты (b и с ) нулю равняться могут.
Посмотрим, как влияют на внешний вид параболы знаки ее коэффициентов.
Самая простая зависимость для коэффициента а . Большинство школьников уверенно отвечает: " если а > 0, то ветви параболы направлены вверх, а если а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.
y = 0,5x 2 - 3x + 1
В данном случае а = 0,5
А теперь для а < 0:
y = - 0,5x2 - 3x + 1
В данном случае а = - 0,5
Влияние коэффициента с тоже достаточно легко проследить. Представим, что мы хотим найти значение функции в точке х = 0. Подставим ноль в формулу:
y = a 0 2 + b 0 + c = c . Получается, что у = с . То есть с - это ордината точки пересечения параболы с осью у. Как правило, эту точку легко найти на графике. И определить выше нуля она лежит или ниже. То есть с > 0 или с < 0.
с > 0:
y = x 2 + 4x + 3
с < 0
y = x 2 + 4x - 3
Соответственно, если с = 0, то парабола обязательно будет проходить через начало координат:
y = x 2 + 4x
Сложнее с параметром b . Точка, по которой мы будем его находить, зависит не только от b но и от а . Это вершина параболы. Ее абсцисса (координата по оси х ) находится по формуле х в = - b/(2а) . Таким образом, b = - 2ах в . То есть, действуем следующим образом: на графике находим вершину параболы, определяем знак ее абсциссы, то есть смотрим правее нуля (х в > 0) или левее (х в < 0) она лежит.
Однако это не все. Надо еще обратить внимание на знак коэффициента а . То есть посмотреть, куда направлены ветви параболы. И только после этого по формуле b = - 2ах в определить знак b .
Рассмотрим пример:
Ветви направлены вверх, значит а > 0, парабола пересекает ось у ниже нуля, значит с < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в > 0. Значит b = - 2ах в = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, с < 0.